如何“优雅”地解决一个抽气机问题

前言

这是一篇娱乐文。

所以废话比较多。

老马说过：从人的社会属性考察，人的本质是一切社会关系的总和；从人的自然属性考察，人的本质是劳动。

说人话就是人这个东西总是要做点什么的。

这两天正好在家不知道该干点什么，又没有社交，有没有劳动，看来是要失去本质了。

无所适从，只能自己找找乐子。

我不是作家。我是不会写东西的。写出来要把别人恶心到，这样可不好，我向来是很在意别人的体会的。

你说游戏这个东西吧，你打打也真是不过如此，打完之后又挺空虚的，搞不好还晕3D，把自己搞得不舒服。

所以开一篇这样的文章。

闲下来了，却想干点正事。

废话说多了，开始正文。

先说清楚：我没怎么学过热学，下面的推导完全基于我的逻辑推演，出错请一定指出。

一、第一个情景

我们构造一个往复式抽气机，就像打气筒那样的，不过是反过来而已。打气筒是充气的，抽气机是从一个密闭容器中抽出气体的。

我们这里要提供更多的条件：
这个抽气机接在一个刚性容器上。这个刚性容器里面有气体。它的体积是 差不多是这样的
我们研究的对象非常简单，即“被抽气”的那个容器的内部压强变化。

二、对往复式抽气机的计算

接下来这部分还不算优雅的。都是常规操作。

开始列式子。

抽气机的活塞被拉动，拉一下，气体体积从  变成  ，压强由  变到  

 

推一下，  体积的气体被排走，离开我们的研究范围。

再拉一下，气体体积又从  变成  ，压强由  变到 

 

推一下，  体积的气体被排走，又离开我们的研究范围。

事实上，考虑到这里，已经知道抽第  次时的情况了。但是人总是个奇怪的动物，总想着搞三次，不搞不舒服似的。

那我们也搞。再拉一下，气体体积又从  变成  ，压强由  变到 

 

搞够三次了。这下又有趣了，如果我要搞四次，人们说你篇幅太长，影响阅读。

行吧，不过至少这下可以说“找到规律”了吧。

我们拉到第  下，气体体积又从  变成  ，压强由  变到 

 

变一下形式，联立起来：



把所有式子乘起来：

 

马上得到

 

即

 

好了。  终归是个常数，  也就是个等比数列罢了。

一尺之捶，日取其半，万世不竭。

三、第二个情景

我们再构造一个连续式抽气机。就像抽油烟机那样的，不过是接在一个容器上了而已。

我们这里要提供更多的条件：
这个抽气机接在一个刚性容器上。这个刚性容器里面有气体。它的体积是 就比如这个
我觉得有必要给这个图加个注。

如图，首先，这是个立体图。左边这个是抽气机，右边是容器。这是个叶轮式抽气机，就有点像汽车用涡轮那种。

这个图丑是丑了点，但是加个注大家都能看懂。这又不是什么正式文章，既然如此，我也就不必花15分钟做一个更好的图了。

我也知道大家都懂这个意思。

废话又多了点。

我们继续。研究的内容和上一个一样，都是“被抽气”的那个容器的内部压强变化。

四、对连续式抽气机的计算

关于优雅的部分刚刚开始，可能前面的铺垫有点长了，在这里道个歉。

1.第一个方法

抽气的过程中，气体压强不断下降，体积不变。

真的不变么？

我们这么来考虑，在某一时刻，气体的压强是  ，体积为  （初始体积），连续式抽气机其实在某段较短时间  内抽出了  体积的气体，又马上排出去了。那么在排出去之前的瞬间，气体压强减小了一点点，变化量为  。这个过程近似等温，于是乎

 

展开

 

消约，丢掉二阶项  ，得

 

设抽气速率为  ，则  ，代入

 

整理得

 

已经出来了。解得

 

把  代入，得

 

完成。都是很常规的操作，也没什么特别的。




2.第二个方法

回忆一下第二节的内容，往复式抽气机第  次抽气后容器压强为



那我们又可以假设了。设想一下，如果往复式抽气机一次抽气抽出的气体体积  足够小，那么只要来回拉动活塞的速度够快，往复式抽气机和连续式抽气机就没有区别了。

在这个假设下，可以直接计算。

比较尴尬的是，这个  怎么处理？

它是个离散量，和这里的连续情况格格不入，所以既然弄不走它，那就同化它，把它也变成一个连续的量。

我们看看  怎么描述：  是抽气次数。抽气次数可以用抽出的总体积来除以每一次抽气的体积来表示，即  。这样一来，  就没了。相应地，把末压强  换一个表达，换成  ，就得到

 

先取个对数

 

观察到了  的形式，于是把式子倒一下：

 

根据假设，取极限，让  ，得

 

导数求出来就是

 

漂亮。把  代入，两边上指数，完成了：

 

别无二致。过程挺有意思的，绕开了解微分方程这一步。

五、小结

其实说到优雅，这有个更好的例子。

前段时间刚看了3b1b的一个关于圆周率的视频，就是这个：
【官方双语】一个计数谜题的意外答案
它从一个弹性碰撞问题中莫名其妙的搞出了圆周率。

要知道，碰撞可和圆八竿子打不着。从这里头整出  确实是挺意外的。

我们说一个算法“优雅”，到底优雅在哪？

其实这些所谓“优雅”的方法，不过是串了一些看似“毫无关联”的东西在一起而已。

举个例子，最速降线的推导，从光学出发来考虑。这好像是雅各布的操作。

大致思路是，一个物体在重力场中上下移动时，它的重力势是均匀变化的，既然要找最短路径，而光走的路径又是最快的，那么构造一个从上至下密度均匀增大的介质，用折射定律算出光路，光路就是最短路径。这在3b1b的视频里面出现过，有兴趣的可以去看看。

仔细想想，这个操作是非常迷幻的。找一些莫名其妙的联系，加上一些直觉，凑一个结果，竟然还对了。

这种冲击感是来自思维跳跃的。

算  ，用投针法，  ，刚刚提到的的碰撞计数法，都可以，“优雅“的程度各不相同。

本文提到的抽气问题，不过是将离散和连续衔接在了一起而已。虽说优雅的程度上差了一点，但还是很让人喜悦的。

这种喜悦就好像用骚方法解了一道数学题一样。